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Simulation et Analyse des Files d’Attente – M/M/1, G/M/1, M/G/1

Ce projet Python a pour objectif de simuler et analyser les performances de trois modèles fondamentaux de files d’attente mono-serveur :

  • M/M/1 : arrivées et services exponentiels.
  • G/M/1 : arrivées générales (uniformes), services exponentiels.
  • M/G/1 : arrivées exponentielles, services généraux (Weibull).

Il s’inscrit dans le cadre d’un travail pratique de modélisation et simulation à l’université (L3 Informatique Sécurité, USTHB), et met en œuvre une simulation événementielle discrète pour étudier l’impact de la variabilité sur les temps de réponse et d’attente dans un système.

📂 Structure du projet

.
├── main.py                    # Script principal de simulation
├── simulate_mm1.py           # Implémentation du modèle M/M/1
├── simulate_gm1.py           # Implémentation du modèle G/M/1 (arrivées uniformes)
├── simulate_mg1.py           # Implémentation du modèle M/G/1 (services Weibull)
├── common/
│   ├── simulation_utils.py   # Fonctions utilitaires de simulation
│   └── plot_utils.py         # Fonctions de visualisation des résultats
├── plots/                    # Graphiques générés (.png)
├── results/                  # Résultats bruts (.csv)
└── README.md                 # Documentation du projet

🎯 Objectifs pédagogiques

  • Implémenter un simulateur événementiel discret.
  • Comparer empiriquement des modèles de files d’attente sous différentes hypothèses.
  • Mettre en évidence l’impact de la régularité des arrivées ou de la variabilité des services.
  • Valider les simulations en les confrontant aux résultats théoriques du modèle M/M/1.

🧮 Modèles simulés

✅ M/M/1

  • Arrivées selon un processus de Poisson (temps inter-arrivées exponentiels).
  • Services exponentiels.
  • Comparaison avec les résultats théoriques connus : [ W = rac{1}{\mu - \lambda}, \quad W_q = rac{\lambda}{\mu(\mu - \lambda)}, \quad ho = rac{\lambda}{\mu} ]

✅ G/M/1

  • Arrivées régulières simulées via une loi uniforme.
  • Services exponentiels.
  • Mise en évidence de la réduction du temps d’attente grâce à la moindre variabilité des arrivées.

✅ M/G/1

  • Arrivées exponentielles.
  • Services selon une loi de Weibull (modélise la variabilité des services).
  • Analyse de l’impact de services irréguliers (queue longue) sur les délais.

⚙️ Paramètres de simulation

Paramètre Valeur
Nombre de clients 1 000 000
Taux de service ($\mu$) 1.0
Taux d’arrivée ($\lambda$) De 0.1 à 0.9 (pas de 0.1)
Répétitions 100 par valeur de $\lambda$
Mesures observées Temps d’attente, temps de réponse, utilisation

📊 Résultats & Visualisation

Les graphiques produits montrent :

✔️ Validation du modèle M/M/1

  • Superposition entre les courbes simulées et théoriques.
  • Faible erreur absolue (inférieure à 0.02), même pour $\lambda \to 0.9$.

✔️ Comparaison croisée

  1. Temps de réponse moyen
    Temps de réponse

  2. Temps d’attente moyen
    Temps d’attente

  3. Utilisation du serveur
    Utilisation

📌 Enseignements clés

  • Le modèle G/M/1, avec des arrivées régulières, est le plus performant.
  • Le modèle M/G/1 est le plus pénalisé par la variabilité des services.
  • Le modèle M/M/1 constitue une référence analytique utile, mais sensible à la saturation.

🧠 Extensions possibles

  • Support des modèles multi-serveurs (M/M/s, M/G/s).
  • Détection automatique de la phase transitoire.
  • Génération de rapports PDF automatisés avec LaTeX.
  • Interface interactive avec Streamlit ou Dash pour expérimenter les paramètres.

▶️ Exécution

# Pour simuler et tracer les résultats M/M/1
python main.py --model mm1

# Pour comparer les trois modèles
python main.py --compare all

🧪 Dépendances

  • numpy
  • pandas
  • matplotlib
  • scipy

Installation rapide :

pip install -r requirements.txt

👨‍💻 Auteur

Projet réalisé par [Votre Nom] dans le cadre du module Modélisation & Simulation (L3 ING SEC, USTHB 2025).

📄 Licence

Ce projet est distribué sous licence MIT. Vous êtes libre de l’utiliser, modifier ou redistribuer avec attribution.